Binomial Newton

Binomial Newton – Apa yang kalian ketahui tentang Binomial Newton ?

Kali ini edmodo akan membahas sebuah materi yang membahas tentang Binomial Newton.

Marilah langsung saja simak pembahasannya sebagai berikut ini.

Pengertian menurut aljabar elementer, bahwa teorema binomial ialah teorema yang memperjelaskan suatu pengembangan eksponen dari sebuah penjumlahan diantara dua variabel (binomial).

Berdasarkan teorema tersebut, kemungkinan cara tersebut itu digunakan untuk mengembangkan eksponen (x + y)ⁿ agar menjadi sebuah nilai penjumlahan terhadap suku – suku yang berbentuk ax^by^c, yang dimana eksponen b dan c merupakan suatu bilangan bulat non negatif dengan b+c=n, serta koefisien a disetiap suku yaitu bilangan bulat yang positif atau hanya tertentu saja sebab tergantung pada n dan b.

Dan ketika suatu eksponen itu ialah nol, maka faktor yang bereksponennya nol itu biasanya dapat dihilangkan dari sukunya.

Dan didalam binomial newton ini terdapat rumus yang menggunakan koefisien – koefisien, contohnya saja (a + b) n.

Contoh soalnya seperti berikut ini n = 2 dan cara penyelesaiannya : (A + B)² = (1) A² + 2AB + (1)B².

Pada koefisien – koefisien dari hasil penjabaran diatas itu yaitu (A + B)² ialah = 1, 2, 1 semua itu bernilai seperti C_(2,0) dan juga C_(2,2) yang dapat ditulis dengan cara berikut ini.

Contohnya :

Temukanlah suku ke tujuh dari (2x + y)¹⁵ ini, berapakah ?

Jawabannya :

• N = 15
• R = 7 – 1 = 6

Baca Juga : Dimensi Tiga

Jadi cara penyeleseiannya seperti berikut ini :

Teorema Binomial Newton

Teorema ini ialah merupakan suatu pernyataan atau sering sekali dinyatakan kedalam bahasa yang natural atau alami saja, dan dapat juga dibuktikan dengan mengetahui dasar asumsi yang telah di nyatakan oleh cara eksplisit maupun pada cara yang sebelumnya telah disetujui.

Didalam logika suatu teorema ini ialah merupakan suatu pernyataan didalam bahasa yang formal atau saat diturunkan dengan cara mengaplikasikan aturan – aturan inferensi juga aksioma dari suatu sistem yang deduktif.

Dari teorema ini ada beberapa jumlah fungsi yang mempunyai nama lain yaitu diantaranya seperti dibawah ini :

1. Terdapat identitas atau dapat di gunakan untuk teorema yang dapat menampakkan persamaannya di antara dua pernyataan matematika.
2. Lema atau pra teorema merupakan pernyataan pada proposisi yang telah diikuti dengan buktinya yang sedikit ataupun tidak ada sama sekali dari suatu teorema maupun dari definisi yang lainnya. Yaitu seperti proposisi B ialah merupakan korolar pada proposisi A, itu juga apabila B dapat dideduksikan dari proposisi A.
3. Pada proposisi atau pernyataan yang tidak ada kaitannya dengan “teorema” sama sekali.
4. Pada klaim atau hasil dapat menarik dan diperlukan kebebasan.
5. Pada aturan yang digunakan untuk teorema yang tertentu seperti pada aturan bayes dan juga aturan cramer, yang dapat mendirikan formula yang sangat berguna.

Pembuktian Dan Contohnya

Dibawah ini ada beberapa soal tentang pembuktian dan contohnya dari teorema binomial newton, yang diantaranya ialah :

Contoh 1 :

Apabila kita ingin menggunakan pembuktian kombinatorik untuk membuktikan teorema tersebut dan pada suku – suku dan hasil dari penjabaran (x+y)^n (x+y)^n dan berbentuk xn – jy jx^n – jy^j untuk j = 0,1,2, … ,nj = 0,1,2, … , n.

Cara menghitung banyaknya pada suku yang berbentuk xn – jy^j xn – jy^j, yang pertama kita perlu memilih (n-j) (n-j) xx dan dari nn faktor.

Oleh karena itu pada koeefisien dari xn-jy^ jx^n-jy^j ialah (nn-j) (n-jn) yang pada ekuivalen dengan (nj) (jn). Baca Juga : SPLDV

Dibawah ini merupakan contoh cara penyeleseian untuk mengilustrasikan pada teorema yaitu :

Contoh Yang Pertama

Ada berapakah nilai pada koefisien dari x^12 y^13 pada ekspansi (x+y)^25 ?

Jawabanya :

Dari teorema binomial, nilai koefisien x^12 y^13 dapat dihitung dengan.
(25/13) = 25!/ 13! 12! = 5.200.300.

Contoh Yang Kedua

Ada berapakah nilai dari koefisien x^12 y^13 pada ekspansi (2x – 3y) 25 (2x-3y) 25 ?

Jawabanya :

Pertama yang perlu diingat bahwasannya ekspresi (2x- 3y) 25 (2x-3y) 25 = (2x+(-3y)) 25 (2x + (-3y)) 25, dengan berdasarkan teorema binomial ini kita dapatkan :

(2x + (-3y)) 25 = ∑j = 025 (25j) (2x) 25 – j(−3y)j

Akibatnya, koefisien x12y13x12y13 pada ekspansi (2x+(−3y)) 25 (2x + (−3y)) 25 dan dapat diperoleh dengan j = 13^j = 13, yaitu :

(25/13) 2^12 (−3)^13 = − 25!/13! 12! 2^12 3^13

Contoh 2 :

Apabila A dan B ialah bilangan sembarang pada sebuah bilangan real, dan juga P(n) ialah merupakan sebuah pernyataan.

Perhatikan rumus berikut ini :

Cara menunjukkan bahwa P(0) itu adalah benar : 

Untuk n = 0, teorema binomial juga menyatakan cara penyeleseiannya sebagai berikut ini :

Akan tetapi pada ruas kirinya ialah (A + B)⁰ = 1, dan cari tahu nilai pada ruas kanannya ialah ?

Perhatikanlah cara penyelesaiannya berikut ini :

Bahwa penyeleseian diatas itu telah menyatakan sampai P(0) itu benar.

Contoh 3 :

Tunjukkanlah bahwa di setiap bilangan bulat m ≥ 0, apabila P(m) benar, maka P(m + 1) benar. 

Contohnya apabila diberikan m pada bilangan bulat dengan m ≥ 0 dan P(m) nya benar.

Sehingga cara penyelesaiannya ialah sebagai berikut : Baca Juga : Masa Perundagian

Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa P(m + 1) itu benar dengan cara berikut ini :

Dengan berdasarkan definisi pada pangkat (m + 1), maka cara penyelesaiannya ialah :

Sampai dengan substitusi dan dari hipotesis induktifnya dan ini cara menyelesaikannya :

Contoh yang paling dasar dari teorema binomial ini ialah merupakan rumus untuk x + y pada kuadrat (x+y)^2 = x^2 + 2 xy + y^2.

Perhatikanlah contoh penyelesaiannya berikut ini :

Mungkin ini saja yang dapat edmodo sampaikan kali ini kepada sahabat – sahabat semuanya tentang pembahasan materi matematika yang berjudul Binomial Newton dan edmodo ucapkan terimakasih atas kunjungannya kali ini ya…

Baca Juga : Cosinus