Persamaan Nilai Mutlak

Posted on

Persamaan Nilai Mutlak – Ialah merupakan suatu nilai mutlak dari angka yang dapat di definisikan untuk sebagai jarak angka di atas titik 0 dan pada garis angka tidak perlu memperhatikan lagi bagaimana arahnya.

Dari nilai mutlak pada angka X juga dapat di artikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis angka yang terlepas dan bagaimana itu bisa terjadi.

Yang artinya bahwa | X | = 5 ini mempunyai dua solusi.

Maka dari itu karena ada dua angka yang jaraknya di atas 0 ialah 5 : x = -5 dan x = 5. Perhatikanlah gambar garis dibawah ini yaitu :

Dari konsep ini bisa di perluaskan untuk situasi yang bisa melibatkan bentuk – bentuk dari aljabar berada di dalam simbol nilai mutlaknya.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan Nilai Mutlak

Apabila X ini merupakan suatu bentuk dari aljabar dan K ialah merupakan suatu bilangan yang real positif, maka |X| = K akan mengimplikasikan X = -K atau dengan X = k.

Seperti yang telah di nyatakan didalam sifat persamaan nilai mutlak, maka sifat ini hanya dapat di terapkan setelah kita mengisolasi simbol dari nilai mutlaknya pada satu ruas.

Supaya lebih jelasnya lagi marilah kita memperhatikan contoh sebagai berikut ini yaitu.

Contoh Pertama

Selesaikanlah persamaan dari : -5|x – 7| + 2 = -13.

Pembahasan yang pertama, marilah kita isolasikan nilai mutlaknya, yaitu dengan membuat simbol nilai mutlak yang berada di satu ruas sedangkan dengan suku – suku yang lainnya kita dapat meletakannya di ruas yang lainnya.

Nah sekarang marilah perhatikan bahwa x – 7 ini merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak,

Sampai dengan mensubstitusi ke persamaan pada semula dan harus dipastikan bahwa pada himpunan penyelesaiannya ialah {4, 10}.

Catatan : untuk persamaan seperti contoh yang ke 1 tadi, hati – hati untuk tidak memperlakukan simbol dari nilai mutlak contonya tanda kurung biasa.

Dari persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 ini hanya mempunyai selesaian x = 10, dan yang ini tidak mempunyai selesaian yang kedua karena persamaan ini mempunyai bentuk yang sederhana x – 7 = 3.

Dan pada persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 ini bisa kita sederhanakan menjadi |x – 7| = 3 ini yang mempunyai dua selesaian.

Pada persamaan nilai mutlak yang bisa muncul dari berbagai bentuk.

Akan tetapi didalam menyelesaikan persamaan ini, kita harus mengisolasi pada simbolnya dari nilai mutlak yang baru kemudian menerapkan sifat persamaannya dinilai mutlak.

Contoh Yang Kedua

Tentukanlah himpunan selesaian dari persamaan : |5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Pembahasan ini digunakan dengan mengisolasi simbol nilai mutlak yang baru kemudian menerapkan sifat persamaannya dari nilai mutlak, kita mendapatkannya.

Jadi, himpunan selesaian dari persamaan ini ialah {–18, 33}.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Apabila A dan B ialah merupakan bentuk – bentuk dari aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Maka dari itu perhatikanlah apabila A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|. Kalau secara umum sifat ini berlaku untuk sembarang konstanta bagian a.

Contoh Menggunakan Sifat Perkalian Pada Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.

Pada pembahasan yang seperti di contoh – contoh pada sebelumnya, maka kita harus mengisolasi pada simbol dari nilai mutlak yang baru diapatkan untuk mengaplikasikannya dengan sifat – sifat persamaan nilai mutlak.

Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak

Contoh Soal 1

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak di bawah ini yaitu !

  • |x + 5|= 3
  • |2x – 3|= 5
  • |x + 1|+ 2x = 7
  • |3x + 4|= x – 8

Pembahasannya :

Dari bentuk – bentuk persamaan nilai mutlak tadi kita dapat menyelesaikannya yaitu sebagai berikut.

Pada prinsipnya, langkah – langkah dari penyelesaian nilai mutlak ini dapat di usahakan bentuk dari mutlak yang ada di ruas kiri.

[1.] Dari bentuk ini ada dua penyelesaiannya yaitu.

(1) X + 5 = 3, maka  X = 3 – 5 = -2

(2) X + 5 = -3, maka X = -3 – 5 = -8

Jadi, dari himpunan penyelesaiannya ialah {-2, -8}

Contoh Soal 2

Dari bentuk ini ada dua penyelesaiannya yaitu.

  • (1) 2x + 3 = 5, maka  2x = 5 – 3
  • 2x = 2  <==>  x = 1
  • (2) 2x + 3 = -5, maka  2x = -5 -3
  • 2x = -8  <==> x = -4

Jadi, dari himpunan penyelesaiannya ialah {-4, 1}

Contoh Soal 3

Perhatikanlah bentuk dari aljabar yang ada di dalam tanda mutlak, yaitu x+1.

Maka penyelesaian dari persamaan nilai mutlak ini juga dapat dibagi menjadi dua bagian yaitu.

Pada bagian yang pertama ialah untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1

Pada bagian yang kedua ialah untuk batasan x+1< 0 atau x < -1

Marilah kita selesaikan persamaan mutlaknya dibawah ini yaitu :

(1) untuk x >= -1

Pada persamaan mutlak ini bisa di tulis dengan :

  • (X + 1) + 2x = 7
  • 3x = 7 – 1
  • 3x = 6
  • X = 2 ( Terpenuhi, karena ada batasan dari >= -1 )

(2) untuk x < = -1

Pada persamaan mutlak ini bisa di tulis dengan :
-(X + 1) + 2x = 7
-X – 1 + 2x = 7
X = 7 + 1
X = 8 ( Tidak terpenuhi, karena ada batasan dari < -1 )

Jadi, himpunan dari penyelesaiannya ialah {2}.

Contoh Soal 4

Perhatikanlah bentuk dari aljabar yang ada di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4.

Penyelesaian persamaan dari nilai mutlak ini juga dapat di bagi menjadi dua bagian yaitu.

Baca Juga : Limit Tak Hingga

Pada bagian yang pertama ini ialah untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3

Pada bagian yang kedua ini ialah untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3

Marilah kita selesaikan pembahsannya dibawah ini yaitu :

(1) untuk x > = -4/3

Pada persamaan mutlak ini bisa di tulis dengan :

  • (3x + 4) = x – 8
  • 3x – x = -8 – 4
  • 2x = -12
  • X = -6 ( Tidak terpenuhi, karena ada batasan dari >= -4/3 )

(2) untuk x < = -4/3

Pada persamaan mutlak ini bisa di tulis dengan :

  • -(3x + 4) = x – 8
  • -3x – 4 = x -8
  • -3x – x = -8 + 4
  • -4x = -4
  • X = 1 ( Tidak terpenuhi, karena ada batasan dari < -4/3 )

Jadi, tidak ada himpunan penyelesaiannya.

Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak dibawah ini yaitu :

Pembahasannya :

[1.] Cara mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini yaitu dengan cara dibawah ini.

-9 < x+7 < 9

-9 – 7 < x < 9 – 7
-16 < x < 2

Jadi, himpunan dari penyelesaiannya ialah{ x/ -16 < x < 2}

Contoh Soal 2

Cara mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian yaitu.

  • (1) 2x – 1 >=  7
  • 2x  >=  7 + 1
  • 2x  >= 8
  • X  >= 4

(2) 2x – 1 <= -7
2x   <= -7 + 1
2x   <= -6
X   <= -3

Jadi, himpunan dari penyelesaiannya ialah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

Contoh Soal 3

Kalau didalam bentuk soal ini, cara menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruasnya.
perhatikanlah proses dibawah ini yaitu.

  • (X + 3)2 <= (2x – 3)2
  • (X + 3)2 – (2x – 3)2 <= 0
  • (X + 3 + 2x – 3) – (x + 3 – 2x + 3) <= 0 ( ingat : a2 – b2 = (a+b) (a-b))
  • X (6 – x) <= 0

Cara pembuat nol ialah X = 0 dan X = 6

Marilah kita selidiki dengan menggunakan garis bilangannya karena dibatasi oleh <= 0, maka penyelesaiannya ialah X < = 0 atau x > = 6.

Jadi, penghimpunan penyelesaiannya ialah {x/ x < = 0 atau x > = 6}.

Marilah kita selidiki dengan menggunakan garis bilangannya yaitu.

Maka karena batasannya itu <= 0, maka cara penyelesaiannya ialah x < = 0 atau x > = 6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

Contoh Soal 4

Cara mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan dari nilai mutlak yang seperti ini malah lebih mudah dengan menggunakan cara menjabarkan definisinya.

Pada prinsipnya ialah merupakan batasan – batasan yang ada pada fungsi nilai mutlaknya yaitu.

Perhatikanlah pada 3x + 1 dan 2x + 4.

Dari batasan – batasan diatas tadi maka bisa kita peroleh batasan – batasan dari nilai penyelesaiannya yang ada pada garis bilangan di bawah ini yaitu.

Dengan garis bilangan ini maka pengerjaanya dapat di bagi menjadi tiga bagian tiap – tiap daerah penyelesaiannya.

[1.] Untuk batasannya x >= -1/3  … (1)

  • (3x + 1) – (2x + 4) < 10
  • 3x + 1 – 2x- 4 < 10
  • X- 3 < 10
  • X < 13 … (2)

Dari (1) dan juga (2) dapat di peroleh irisan penyelesaiannya dengan  -1/3 <= x < 13

[2.] Untuk batasannya -2<= x < -1/3  … (1)

  • -(3x + 1) – (2x + 4) < 10
  • -3x – 1 – 2x – 4 < 10
  • -5x – 5 < 10
  • -5x < 15
  • -X < 3
  • X > 3 … (2)

Dari (1) dan juga (2) tidak dapat di peroleh irisan dengan penyelesaiannya atau tidak ada penyelesaiannya.

[3.] Untuk batasannya x < -2  … (1)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x – 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x  < 7
X > -7 … (2)

Dari (1) dan juga (2) dapat di peroleh irisan dengan penyelesaiannya -7 < x < -2.

Jadi, himpunan dari penyelesaiannya ialah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Sekian yang bisa edmodo.id sampaikan, semoga bermanfaat untuk sahabat sekalian. Baca Juga : Vektor Matematika