Persamaan Lingkaran

Posted on

Persamaan Lingkaran – Ialah merupakan sebuah himpunan pada titik – titik yang berjarak sama dengan suatu titik.

Dari titik – titik koordinat tersebut dapat di tentukan lewat susunan pada persamaan dari bidang lingkaran ini.

Lingkaran ini dapat di tentukan dengan berdasarkan panjang jari – jarinya dan pada koordinat dititik pusat lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran

Pada persamaan dari lingkaran tersebut ada berbagai macam persamaan dari lingkarannya,

yaitu pada persamaan yang telah di bentuk dari titik pusat dan juga dari jari – jari dan pada suatu persamaan dapat dicari dengan titik pusat dan dengan jari – jarinya.

Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran

Didalam persamaan ini ada persamaan umum, contohnya seperti dibawah ini yaitu :

Ini ialah merupakan rumus persamaannya dari bentuk umum, apabila dilihat dari persamaannya diatas maka dapat ditentukan dengan titik pusatnya dan dari jari – jari lingkarannya, yaitu :

Dari titik pusat lingkarannya ialah :

Dan untuk jari – jari lingkarannya ialah :

Persamaan Lingkaran Pada Pusat P (a,b) Dan Jari – Jari R

Dari sebuah lingkaran apabila di ketahui titik pusatnya dan jari – jari nya, maka akan mendapatkan yaitu dengan rumus :

Apabila di ketahui pada suatu titik pusat lingkaran dan jari – jari lingkaran yang mana (a,b) ialah merupakan titik dari pusat dan juga r ialah merupakan jari – jari dari lingkaran tersebut.

Namun dari persamaan yang telah didapatkan diatas tadi, kita dapat menentukannya apakah titik tersebut termasuk pada lingkaran, atau yang ada di dalam lingkaran atau yang ada diluar lingkaran.

Guna menentukan letaknya pada titik tersebut yaitu dengan cara subtitusi pada titik Variabel X dan juga Y lalu di bandingkan dengan hasilnya dan dengan kuadrat dari jari – jari lingkarannya.

Pada suatu titik yang dibawah ini berada :

  • Pada lingkaran : >> (x1-a2)2+(y2-b)2=r2 
  • Di dalam lingkaran : (x_1-a)^2+(y_2-b)^2
  • Di luar lingkaran : >> (x1-a)2+(y2-b)2>r2^2″> r^2″>

Persamaan Pada Lingkaran Berpusat O (0,0) Dan Jari – Jari R

Apabila titik pusat di O (0,0), maka lakukanlah subtitusi di bagian sebelumnya, yaitu :

Dari persamaan diatas tadi, maka dapat di tentukan letak pada suatu titik terhadap lingkaran tersebut yaitu.

Dari suatu titik M(x1,y1) terletak pada :

  • Pada lingkaran : >> x2/1+y2/1=r2 
  • Di dalam lingkaran : x_1^2+y_1^2
  • Di luar lingkaran : >> x2/1+y2/1>r2 r^2″ 

Perpotongan Garis Dan Lingkaran

Pada sebuah lingkaran dengan persamaan dari lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 dapat ditentukan apakah sebuah garis h dengan persamaan y=mx+n tersebut tidak menyentuh,

dengan menyinggung, atau memotong lingkaran dengan menggunakan prinsip diskriminan. x2+y2+Ax+By+C=0 (persamaan 1) y=mx+n (persamaan 2).

Dengan mensubtitusi persamaan dua dan ke persamaan satu, maka akan diperoleh pada sebuah bentuk persamaan kuadrat :

Dari persamaan kuadrat di atas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, maka dapat di lihat apakah garis tidak menyinggung maupun memotong lingkaran.

Pada garis h tidak dapat memotong atau menyinggung pada lingkaran, Garis h dapat menyinggung lingkarannya, maka D=0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Berikut ini ialah ada beberapa persamaan garis singgung lingkaran marilah kita lihat persamaannya sebagai berikut ini.

Persamaan Garis Singgung Melalui Sebuah Titik Pada Lingkaran

Namun pada garis singgung lingkaran tepatnya bertemu dengan satu titik yang letaknya di lingkaran,

maka dari titik lingkaran tersebut dapat di temukan pada persamaan garis dan juga pada garis singgung tersebut.

Baca Juga : Identitas Trigonometri

Pada persamaan garis singgung lingkaran melewati titik

maka dapat di tentukan dengan berdasarkan rumus pada persamaan yang membentuk lingkaran ini yang telah di jelaskan di bagian sebelumnya, yaitu :

Maka bentuknya yaitu :

Pada persamaan garis singgungnya yaitu :

Maka bentuknya yaitu :

Pada persamaan garis singgungnya yaitu : 

Maka bentuknya yaitu :

Pada persamaan garis singgungnya yaitu : 

Namun berikut ini merupakan contoh soal dari persamaan garis singgung Persamaan garis singgung yang melewati titik (-1, 1) maka pada lingkaran

Jawabannya :

Dari soal diatas tadi yang kita ketahui mengenai persamaan yang telah dijelaskan diatas ialah

Dengan A = -4, B = 6 dan C = -12 dan

PGS ialah ?

Maka pada persamaan garis singgungnya ialah

Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien

Apabila ada suatu garis dengan gradien m yang menyinggung suatu lingkaran 

Maka pada persamaan garis singgungnya yaitu :

Apabila ada lingkaran

Maka pada persamaan garis singgungnya ialah :

Apabila ada lingkaran

Maka ada persamaan dari garis singgungnya dengan mensubtitusikan r dengan

Sampai dapat di peroleh :

Atau dengan cara

Persamaan Garis Singgung Dengan Titik Yang Berada Diluar Lingkaran

Dari suatu titik yang berada di luar lingkaran maka dapat di tarik dengan dua garis singgung yang ada dilingkaran tersebut.

Untuk mecari persamaannya dari garis singgung maka gunakanlah rumus dari persamaan garis yang biasa, yaitu sebagai berikut ini :

Namun dari rumus di atas tadi terdapat nilai gradien dan garisnya belum diketahui.

Untuk mencari nilai gradien dan juga garis, maka kita harus mensubtitusikan dahulu dari persamaannya dari lingkarannya.

Karena garis tersebut merupakan garis singgung maka dari persamaannya mendapatkan hasil dari subtitusi nilai D = 0, dan akan memperoleh nilai m.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Contoh Soal Yang Pertama

Pada suatu kapal yang di tempatkan pada titik koordinat (5, 12) mempunyai radar dengan jangkauan sebesar 45 km ke segala arah.

(a) Tulislah persamaannya yang memodelkan jangkauan maksimum dari radar yang terdapat pada kapal pesiar tersebut,

(b) gunakanlah rumus jarak untuk menentukan apakah radar tersebut dapat mendeteksi kapal yang lainnya yang terletak pada koordinat (50, 25).

Pembahasannya :

(a) Dengan memakai posisi kapal pesiar tersebut, (5, 12), sebagai titik pusatnya, kita dapat memperoleh a = 5, b = 12, dan r = 45.

Sehingga, dari jangkauan maksimum pada radar tersebut dapat dimodelkan sebagai : (x – 5)2 + (y – 12)2 = 452 yang sama dengan persamaannya (x – 5)2 + (y – 12)2 = 2.025.

Persamaan Lingkaran

(b) Dengan (x1y1) = (5, 12) dan juga (x2y2) = (50, 25), maka kita dapat menggunakan dengan rumus jarak.

Karena 46,84 > 45, maka kapal pesiar yang kedua tidak akan dapat terdeteksi oleh radar kapal pesiar yang pertama.

Contoh Soal Yang Ke Dua : Menentukan Lingkaran Dalam

Tentukanlah persamaan pada lingkaran yang warnanya biru dan juga merah, kemudian tentukanlah luas daerahnya pada lingkaran yang berwarna biru ?

Persamaan Lingkaran

Pembahasannya :

Dengan memakai grid pada gambar di atas, kita dapat mengetahuinya bahwa lingkaran yang berwarna biru ini mempunyai titik pusat di (2, 0) dan berjari – jari r = 4 satuan panjang.

Selain dari itu, kita juga dapat mengetahuinya bahwa lingkaran yang berwarna merah ini juga mempunyai titik pusat di (2, 2) dan berjari – jari r = 2 satuan panjang.

Maka kita dapat mengansumsikannya yang berwarna biru ialah dengn(x – 2)2 + (y – o)2 = 42 atau bisa di sederhanakannya menjadi persamaan (x – 2)^2+ y2 = 16.

Yaitu dengan cara yang sebelumnya kita juga dapat memperolehnya dengan persamaan diatas yang berwarna merah yaitu (x – 2)^2 + (y – 2)2 = 4

Selanjutnya kita akan menghitung luas daerah yang berwarna biru, dari daerah ini ialah merupakan hasil dari pengurangan daerah

yang tempatnya ada didalam lingkaran yang berwarna biru dan dengan daerah yang ada didalam lingkaran merah, sampai menjadi !

Jadi, luas dari daerah yang berwarna biru ialah 12 π satuan luas.

Inilah yang dapat edmodo.id sampaikan pada pembahasan kali ini tentang Persamaan dari pada Lingkaran. Baca Juga : Pertidaksamaan Nilai Mutlak